1904年に、3次元球面のトポロジーの基本群による特徴付けを主張するポアンカレ予想が提唱された。1950年代後半から一般化された予想の5次元以上での解決、その後、位相的な手法による4次元での解決があり、最終的に2002年と2003年にペレルマンによりポアンカレ予想は解決された。本書は、高次元から低次元へと進んだ三つの異なる手法を解説するのが目的である。ポアンカレ予想に関する成書は数多いが、次元に依存するアプローチを一冊にまとめたのは、おそらく本書が初めてである。