本書は「スペクトル幾何」の最新理論に関する本邦初の書物である。ラプラシアンのスペクトルとは，太鼓のように発音体が発する音の情報のことで，スペクトル幾何とは，「音情報」を研究する数学理論のことである．その最も重要な課題は，「音情報」から発信源の形状を推測・決定することである．本書はこれが可能であることを述べている。スペクトル幾何の研究の歴史は古く，1910年のワイルの仕事に始まる。1924年に出版された有名なクーラント・ヒルベルトの「数理物理学の方法」は，当時のスペクトル理論の研究成果を集大成したもので90年経った現在でも愛読されている。クーラントは有限要素法の創始者としても知られており，彼の名を冠したニューヨークにある「クーラント数理科学研究所」は数学のメッカとして名高い。本書はこのような背景と歴史を持つスペクトル幾何の，1970年以降から現在に至る最新の研究成果を分かり易く述べたものである。その内容は，ラプラシアンの固有値の連続性と様々な評価，第一固有値に関するリヒネロヴィッツ・小畠の定理，熱方程式の基本解とそれを使った閉測地線の長さの集合を決定するコラン＝ド＝ヴェルディエの仕事を述べる。負曲率におけるアノソフ力学系とギルミン・カズダンの仕事，ディリクレ固有値問題のペイン・ポリヤ・ワインバーガー型不等式に関する成慶明らの最新成果と「発信源逆探知問題」への興味ある応用も述べる。本書はこのように微分幾何学，モース理論，アノソフ力学系，剛性定理など多岐にわたり様々な数学の分野に跨がる他に類書のない著書である。